Снять АКБ и воздушный фильтр. Доступ облегчится. Проводочки все проверить на целостность. Бывает, что внешне провод вроде цел, а внутри жила обломилась и контакт то есть, то нет. Если просто взять такой провод за 2 конца и потянуть немного в месте внутртеннего разрыва он легко удлинится. Ну заменить его. Это конечно больше касается тонких проводов. Те, что идут с АКБ на стартер обычно очень толстые и прочные. На них просто проверить следы окисления на клемах, зачистить. Смазать солидолом, чтобы не ржавели. Проблема может быть и в замке зажигания и в контактах на его разъемах. Но, поскольку у вас получилось завести, просто пошевилив контакты на втягивающем, скорее всего там и косяк где-то.