поправлю.
на неисправном АКБ - нормальное явление, при вкл стартера щелчок и всё, лампы снова разгораются после перевода ключа в положение зажигание.
при плохом контакте,обычно лампы снова не загораются, пока не пошевелишь тот или оной силовой провод.
Как вариант - неисправен замок зажигания.
проверить стартер на авто:
ставим нейтралку, авто на ручник, отключаем тонкий проводок от стартера, замыкаем отвёрткой аккуратно!!! 2 шпильки на втягивающем ( + от АКБ и + на СТАРТЕР) - моторчик должен весело зажужжать, не прокручивая коленвал авто! Далее вместо тонкого отключенного провода кидаем на клемму втягивающего провод сечением не менее 0,5 мм2 от +АКБ . тут втягивающее должно щелкнуть и моторчик стартера, должен прокрутить коленвал. Можно просто выкрутить все свечи и попробовать запустить стартер ( без свечей компрессии в моторе не будет и стартеру не составит почти никакого труда провернуть коленвал)